En el año 1897 Elías Salaverría era monaguillo en el santuario del Santo Cristo de Lezo. Al frente del santuario se encontraba el sacerdote Eusebio Pildain, quien descubre en el joven Elías una gran afición a pintar e iluminar cuanto cae en sus manos: estampas, paisajes y rincones de la ladera de Jaizkibel. El sacerdote es gran amigo del marqués de Cubas, el arquitecto autor del cementerio de La Almudena y de otras importantes obras famosas. El marqués pasa sus temporadas veraniegas en San Sebastián y acude frecuentemente a visitar el Santo Cristo de Lezo. Un día, el cura le habla de su monaguillo y le pide ayuda para poder ofrecerle estudios. Tras un par de pruebas, acordaron que el marqués apoyaría a Elías Salaverría para que estudiase dibujo y pintura.

Comenzó a estudiar dibujo en la Escuela de Artes y Oficios de San Sebastián. Dos años más tarde, se trasladó a Madrid, y al morir el marqués de Cubas, la marquesa no abandonó al joven pintor, y le siguió ayudando. Se instaló en una estrecha buhardilla, y acudía a las clases del maestro Ferrán. Poco tiempo después estudió con Luis Menéndez Pidal. La primera obra importante que vende lleva por título Timidez. La obra la adquirió un norteamericano, y con lo que ganó se decidió a cruzar la frontera.

En París estudió con los maestros franceses. De vuelta a España, comenzó a presentarse a exposiciones y concursos, logrando numerosos premios y obteniendo un gran éxito de crítica y público. En 1934 fue nombrado profesor de la Escuela Superior de Pintura, Escultura y Grabado, y en 1944 ingresó en la Academia de Bellas Artes de San Fernando, de Madrid. Año en el que sufrió la represión del régimen franquista, con un expediente del Tribunal Nacional de Responsabilidades Políticas, por el que posteriormente fue indultado.

Antes de eso sufrió también la vulneración del exilio, ya que al principio del alzamiento huyó a Madrid y luego a Barcelona, a casa de su primo Adrián. Dicen que en ella hizo un cuadro a la hija de ésta, Águeda. Se marchó de Barcelona a Valencia, y de Valencia a Italia, y, por último, de Italia a Alemania. Parece ser que hizo todos los viajes por mar, llevando el dinero escondido en el cepillo de sus zapatos.

Estando en Alemania, la guerra estaba en su apogeo en el País Vasco, y empezó a encontrarse mal. Llamó a su amigo Gregorio Marañón y como para entonces los alemanes ya estaban en París, éste le dijo que podía ir a España. Y nada más entrar en España lo detuvieron y lo metieron preso en una plaza de toros. Gracias a Joaquín Ruiz Jiménez, ministro del gobierno de Franco, consiguió salir de allí.

Como para entonces estaba perdiendo la vista, se fue a Estados Unidos y regresó después de ser operado por el doctor Barraquer. Estaba muy contento. Luego pintaría: Franco (2 veces), Carmen Polo (2 veces), Gral. Varela, Gral Mola, Marqués de Comillas, llegada de Elcano (esta segunda para el Museo Marítimo). En Buenos Aires triunfó en 1948 en una exposición de sus cuadros, y en 1949 presentó sus retratos en Montevideo.

Finalmente, a consecuencia de un grave accidente, falleció el 14 de julio de 1952 mientras trabajaba en solitario en la restauración de las pinturas del techo de la iglesia de San Fernando el Grande. Al parecer, fue localizado días después, víctima de un accidente. Poco antes había hecho su última exposición en el Palacio de Cristal de Madrid.